Ley de Planck y la física moderna.

 -Ley de Planck y la Física Moderna-

El 19 de octubre de 1900, Max Planck postula la ley de la emisión del cuerpo negro, que se llamara posteriormente: Ley de Planck. Este momento, puede considerarse el comienzo de la física moderna. 

¿Qué es lo que pretende esta entrada?     Es tarea ardua, tratar de explicar un tema tan árido, excepto para los expertos, pero hemos aceptado el desafío y trataremos hacerlo de la manera más simple, a fin de que no permanezca ajeno a todos los que hemos sentido hablar de la física cuántica como algo inaccesible. Sin más pretensión que aproximarnos un tanto al tema. Al no ser un gran conocedor del mismo, invito a todos los que puedan corregirme o aportar sobre el tema, ya sea a través de los comentarios o mediante el foro, así lo hagan.

La primera pregunta que se nos plantea, ya con el titulo, es que tan importante es esta ley para lograr un cambio trascendental, como lo define, el ser la piedra fundacional de la física moderna. Pues bien, hasta ese momento, la física (a partir de entonces, denominada en sentido estricto física clásica), con sus leyes explicaba la gran mayoría de los fenómenos. Teniendo tres grandes corrientes para estas explicaciones. La primera trata de los cuerpos en movimiento. La segunda se refiere a los fenómenos ondulatorios a los que teóricamente están sometidos, la electricidad, el sonido y la luz. Y por último, la tercera, que está relacionada con el calor (es la termodinámica). Se basaba esencialmente en dos pilares, las leyes de Newton y los estudios de James Clerk Maxwell sobre electromagnetismo, unificando electricidad y magnetismo. A fines de siglo XIX, la física clásica estaba solidificada y segura de su determinismo. Sin embargo, habiendo progresado las metodologías experimentales y de observación; empiezan a haber acontecimientos y observaciones que los científicos no pueden explicar. Se dan cuenta que la trayectoria del planeta Mercurio no cumple a su totalidad las leyes de Newton. La luz, que se pensaba que era instantánea, parece que tiene una velocidad limitada y que además que esa velocidad no se puede superar. Se empieza a cuestionar la existencia del éter. Hay indicios de que la luz no se propaga continuamente como una onda. Si bien la física parece explicar todo lo relacionado con lo macroscópico, no aplica sus leyes a lo muy pequeño.

Intercalemos como comentario anecdótico, que a Max Planck, se le aconsejó por su profesor de física cuando tenía 17 años, que no perdiera el tiempo estudiando física, en especial física teórica,  porque el trabajo significativo de esta ciencia ya se había concluido. Tan segura, estaba la física de poder explicarlo todo. Planck, luego de estudiar matemáticas y física, en la Universidad de Múnich la primera y en la de Berlín la segunda, se dedicó a la termodinámica.

La termodinámica (es una palabra que proviene del griego: θερμός "thermos"="calor" y δυναμό "dynamos"="fuerza") mediante sus leyes o principios trata de explicar el comportamiento de la temperatura, la energía y la entropía. La entropía es una medida del trastorno (desorden) del sistema que recibe calor o energía. La entropía se representa con la letra "S".

De las cuatro leyes o principios fundamentales de la termodinámica, en realidad, la que comienza a desarrollarse primeramente, es la que será posteriormente conocida como la segunda. Es justamente la que introduce el concepto de la entropía, que fue formulada por el físico e ingeniero francés Nicolás Leónard Sadi Carnot en 1824. En el año 1860, este principio fue reformulado por Rudolf Clausius y William Thompson, que le añadirían, a la que hoy llamamos la primera ley de la termodinámica. Más tarde surgió la de Nerst (postulado de Nerst) que se formuló a partir de los estudios de Walter Nerst entre 1906 y 1912. Por último la cuarta, llamada "ley cero" que es enunciada en 1930, por Fowler y Guggenheim (la cual, no es reconocida unánimemente como tal).

1. Ley de la conservación de la energía - dicta que en cualquier sistema físico, aislado de su entorno, la cantidad de energía será siempre la misma. Es una generalización del principio de conservación de la energía mecánica. La energía puede transformarse de una forma a otra u otras, pero será siempre la misma. Diciéndolo, mas sencillamente, la energía, no puede crearse ni destruirse, solo transformarse. Me gusta el ejemplo de un motor de avión, que traduce la energía química del combustible, en energía calórica por su combustión, por energía cinética (por el trabajo de lograr moverlo). 
2. Ley de la entropía, señala que el desorden del universo siempre tiende a aumentar. O sea que dado el tiempo suficiente, todos los sistemas tenderán eventualmente al desequilibrio. Existen dos enunciados equivalentes, que no los voy a detallar aquí.
3. La entropía de un sistema se aproxima a un valor constante a medida que la temperatura se aproxima al cero absoluto. Para entender esta ley podemos pensar en un congelador en el cual la temperatura ralentizará la descomposición de los alimentos.
4. La ley cero o de equilibrio térmico, postula que si dos sistemas están en equilibrio térmico independientemente con un tercer sistema, deben estar en equilibrio térmico entre sí. Esta ley a lo que se refiere es comparando 3 cuerpos: A,B y C; si A tiene la misma temperatura que C, y B tiene la misma temperatura que C, entones A y B tienen que tener la misma temperatura. Otra forma de enunciar este principio seria que si dos cuerpos con distintas temperaturas se ponen en contacto intercambian temperatura hasta que sus temperaturas se igualen. Por ejemplo, si a una bebida caliente le agregamos unos cubitos de hielo. Aquí ni los cubitos de hielo permanecerán igual, ni la bebida conservará la misma temperatura, tenderán a aproximarse hasta equipararla.

Max Planck escribió su tesis doctoral sobre la segunda ley (1891), pero luego se enteró que alguien se le había adelantado. Un inglés de nombre J. Willard Gibs, en 1878 escribió un libro "Sobre el equilibrio de los sistemas heterogéneos" que aclaraba los principios termodinámicos, incluyendo la entropía.

En 1865, James Maxwell publicó su estudio sobre la radiación electromagnética, con su unificación en cuatro ecuaciones, de la electricidad, el magnetismo y la luz. Demostró que el campo eléctrico y el campo magnético viajan en ondas. Los estudios de Planck, no invalidaron su teoría, sino que en la actualidad, se cree que la radiación electromagnética combina las propiedades de las ondas y de las partículas (esto es lo que se denomina dualidad).

Partamos de la base, de que nuestra capacidad de la percepción del mundo, a través de nuestro sentidos, es limitada. Todos los seres vivos, tienen rangos diferentes de amplitud de esta percepción, que se han ido conformando por la selección natural, pero no existe ninguno que abarque el total de los espectros. Cuando hablamos de ver, es decir percibir algo por medio del sentido de la vista, nos estamos refiriendo a observar un objeto que emite luz. Un razonamiento apresurado, diría que lo observamos porque esta reflejando la luz de otro objeto, como ser una lámpara incandescente. (justamente el filamento de esta aplica, a lo que tratamos). Cuando nos encontramos en la oscuridad de un cuarto cerrado, con la luz apagada, no vemos los objetos dentro de ella, tampoco vemos el filamento frio de la lámpara dentro del bulbo transparente de vidrio, pero que pasa cuando encendemos el interruptor. Los electrones que tienen carga negativa empiezan a fluir rumbo a la carga positiva y viajan por el conductor (cable) e ingresan al filamento de la lámpara (que siempre observamos que es de un material diferente al del cable y tiene un menor diámetro). Ya con esto tenemos unos conceptos básicos, el átomo como unidad constituyente de toda la materia, esta formado por un núcleo compuesto (en principio) por protones y neutrones y un envolvente en el cual giran los electrones. Los electrones tienen una carga negativa, siendo los protones que componen el núcleo de átomo de carga positiva, ambos deben igualarse en número, para que sea una estructura atómica estable. El número de los protones es el que determina el número atómico que es el que conforma la tabla de elementos. Los neutrones, que no pueden existir fuera del núcleo como tales, no tienen carga eléctrica, pero son importantes en la radiación, fusión y fisión nuclear. Ya cinco siglos antes de cristo (aunque el concepto de una unidad como componente de todo lo material, es muchos milenios anterior), el filósofo Demócrito había formulado la teoría que la materia se componía de partículas indivisibles, a las que llamó átomos. En 1803, John Dalton dividió la materia en elementos y compuestos, y en honor a Demócrito, llamó átomos a las unidades fundamentales que formaban los elementos. El nombre electrón también lo debemos a los griegos, ya que esta palabra en griego clásico significa ámbar. Tempranamente los griegos se dieron cuenta de que si frotaban ámbar se daba un fenómeno que producía la atracción de partículas (lo describe Tales de Mileto). Fue luego, el físico y médico británico William Gilbert (1544-1603) quien acuño la palabra eléctrico. Ahora, cuando ingresa el flujo de electrones en el filamento este cambia rápidamente de color y su luz ilumina ese cuarto a que nos referíamos. Aquí tenemos varios conceptos nuevos: corriente eléctrica, flujo de electrones, diferencia de potencial, tensión o voltaje, intensidad de corriente eléctrica, resistencia eléctrica. Corriente eléctrica y flujo de electrones: el fluir de los electrones se da por la diferencia de potencia en los extremos, por ser de diferente valor se atraen (Ley de Coulomb). La diferencia de potencial equivale a la tensión o voltaje. Después tenemos la intensidad de corriente eléctrica que es la cantidad de electricidad que circula por un circuito en una unidad de tiempo, la cual se mide en amperios. Y la resistencia que se mide con ohmios y es lo que dificulta el paso de los electrones ya sea porque es menos conductiva o porque tiene un diámetro menor al conductor que le antecede, dos condiciones que se dan en el filamento de la lámpara. Eso determina, que el material del filamento suba de temperatura, cambiando de color y emitiendo ondas más pequeñas. Pero: ¿esto quiere decir que cuando el interruptor esta apagado, el filamento no emite ninguna onda? No, definitivamente podemos asegurar que tiene emisiones, al igual que todos los objetos en el cuarto y que nosotros mismos, el hecho es que no están dentro de nuestro rango de percepción. Los átomos no dejan de vibrar dentro de los cuerpos y por tanto, emiten radiación, "luz", radiación térmica. El tema, es que esta emisión es infrarroja. Cuanto mayor es la temperatura, menor es la longitud de onda. Si tuviéramos puestas unas lentes de visión nocturna, si veríamos, con este rango de percepción aumentado. Desde que el hombre comenzó a hacer cerámica, desde que empezó a dominar los metales, este supo que había un cambio de color a medida que subían las temperaturas. Mas contemporáneamente si el material se tornaba rojo rubí, sabía que estaba en una temperatura de unos 750°C, si se volvía amarillo probablemente unos 1000°C, si alcanzaba el color blanco, unos 1200°C. Pero incluso muchísimos años antes, observando las brazas del fuego encendido, se preguntó porque estas cambiaban de color. Precisamente esta es la pregunta que se hizo en 1862, Gustav Kirchhof, sentado frente a su estufa de leña. 

Hay algunos conceptos, que ya en la enunciación primaria del tema, se hacen necesarios. Debemos antes que nada, definir a que nos referimos al hablar de un cuerpo negro, y en este caso retrotraernos un poco en el tiempo, ubicándonos en el siglo XIX. Es acertada aquí la definición que hace la Wikipedia (que critico habitualmente por desarrollos con carencias, inexactitudes y errores, y que después asimilan muchas páginas Web), en cuanto comienza planteando, la similitud que existe entre el cuerpo negro con la de los agujeros negros. Esto hace mas comprensible, el entendimiento primario, de que es la esencia del concepto de "negro", que también se aplica a la materia. Ya que en cuanto a definir el significado de lo que es un agujero negro, ha habido una mayor divulgación, por los medios, por programas televisivos como "Cosmos", por los artículos, libros y películas de ciencia ficción, así como por la popularidad del divulgador científico, físico teórico y astrofísico inglés Stephen Hawking.

Tenemos pues, cito Wikipedia: "Un cuerpo negro es un objeto teórico parecido a un agujero negro que absorbe toda la luz y toda la energía radiante que incide sobre él, constituyendo un sistema físico idealizado para el estudio de la emisión de radiación electromagnética". (el resaltado con negrita lo he modificado). La noción de "cuerpo negro" fue introducida por Gustav Kirchhof en 1862. La luz emitida por un cuerpo negro se denomina "radiación de cuerpo negro". La llamada radiación de Hawking, es la producida por el cuerpo negro de los agujeros negros. Todos sabemos, por nuestra experiencia personal, que los objetos de color negro y mate absorben más la energía, la temperatura habitualmente, que los colores claros y brillantes, que reflejan la energía absorbiéndola menos, como vemos con la luz. Pues el cuerpo negro, es un objeto teórico, que nos permite un punto de partida para el análisis. Todos los cuerpos absorben y emiten energía. La ley de Kirchhof establece que un cuerpo que es buen emisor de energía, también es un buen absorbente de la misma. A lo establecido, un cuerpo negro en equilibrio térmico tendría valor de emisividad 1.00, al aumentar la temperatura, las emisiones de ondas son cada vez más pequeñas, y el brillo pasa del rojo al blanco; mientras que las radiaciones irán del amarillo al violeta. Según la ley Stefan-Boltzmann, un cuerpo negro emite radiación térmica con una potencia emisiva, proporcional a la cuarta potencia de su temperatura. Si bien, su máxima utilidad práctica la hallamos en el campo astronómico (donde se ha extendido, por la creciente búsqueda de exoplanetas), también, muchas veces sin reconocer sus principios y sus leyes, la usamos intuitivamente en otros campos.

Tratando de ser lo más exacto posible, sin complicar la comprensión, digamos que se había distinguido originalmente a los agujeros negros de los cuerpos negros, por la absorción total  en el primero de la radiación electromagnética, mientras que en el caso del cuerpo negro, este absorbe y emite luz. Sin embargo, en 1973 Stephen Hawking, visita Moscú, donde los científicos soviéticos Alekséi Starobinski y Yákov Zeldovich, le demuestran¹) que a pesar que no fueran detectables por los medios existentes, los agujeros negros en rotación, deberían producir y emitir partículas. En 1974, Stephen Hawking, postuló la existencia de la posteriormente llamada radiación de Hawking.

El cuerpo negro estaba destinado a estudiar la radiación térmica, debe emitir esta radiación y no reflejar nada. Si los científicos tenían las leyes de la termodinámica y las del electromagnetismo, obtendrían la cantidad de radiación que emitiría un cuerpo negro. La respuesta es la ley de Rayleigh-Jeans pero como la energía emitida crece con el cuadrado de la frecuencia y no hay límite de esa frecuencia, a frecuencias suficientemente altas de energía que emita un cuerpo, se hace infinita. Esto se conoce como catástrofe del ultravioleta. La ley pues, solo funciona para frecuencias bajas. Wilhelm Wien dio con una función que decrece en forma exponencial, la que ajusto muy bien con las altas frecuencia, pero no con las bajas.

Lummer y Pringsheim; y Rubens y Kurlbaum, realizan experimentos a frecuencias bajas (longitud de onda larga) y estas demuestran que la fórmula de Wien es incorrecta. El 7 de octubre de 1900, Rubens se lo comenta a Planck en una comida y éste comienza a trabajar. El 19 de octubre, Max Planck reporta los resultados a que ha llegado a la Academia Prusiana de Ciencias. Esa misma noche Rubens verifica que la fórmula de Planck ajusta a las experimentaciones y se lo comunica al día siguiente.

Como solucionó esto Max Planck, afirmó que los átomos no son osciladores que irradian energía constantemente, el pensó que la energía se absorbe y se emite en paquetes que llamo cuantos o paquetes de energía. Nacía la física cuántica. El 19 de octubre de 1900, Max Planck presentó en la Sociedad de Física de Berlín un artículo que se conocería luego como "La ley de distribución de Planck  para el espectro". Avanzando en el desarrollo de esta teoría, descubrió una constante de naturaleza universal que se conoce como la constante de Planck. La ley de Planck establece que la energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por la constante. 

Para que se entienda con facilidad, hasta ese momento se creía que la energía  se irradiaba de forma constante, como si fuera un hilo de agua cayendo, ahora el proponía que era en gotas, que eran todas iguales, y que eran unidades pequeñísimas. Eran los "cuantos" y la energía solo se podía irradiar u observar en múltiplos de los mismos.

El 14 de diciembre de 1900, finalmente se materializa la hipótesis cuántica. Introduciendo la "h" en la fórmula, llamando a "hv", "cuanto de energía". La idea es calcular el número de maneras diferentes de dividir la energía U entre los N osciladores. Planck divide la energía total U en P pedacitos iguales de e energía. Los pedacitos iguales de energía son los cuantos. Entonces: U=Pe  W= número de repartir P pedacitos en N osciladores. Donde k es la constante de Boltzmann.

[Tratando de explicar la formulación: comenzamos por U,  que es el símbolo de la "energía interna". Ésta es uno de los aspectos de la termodinámica y se dice que corresponde al movimiento aleatorio y desordenado de las moléculas. Incluye a la energía potencial o energía almacenada y a la denominada energía cinética (del griego "kinesis"= movimiento), abreviada como Ec o Ek. Un ejemplo, que se me ocurre es en balística: donde un disparo, acelera un cuerpo desde el estado de reposo, hasta una velocidad determinada. James Jules, fue quién estudio la relación entre calor, trabajo y temperatura. A él se debe el nombre de "joules" o "julios", para llamar a la que es la unidad para medir energía, trabajo y calor. Se dice, que el calor es una magnitud medible, mientras que la temperatura, es la expresión de esa magnitud en relación a un objeto concreto. Aparece a continuación k, que habíamos mencionado que era la constante de Boltzmann. La misma, relaciona temperatura absoluta y energía. La llamada temperatura absoluta, es la que se mide con una escala que comienza en el 0° absoluto. La utilizada es la de Kelvin, a la que estoy familiarizado por ser la que se utiliza en luminotecnia. La escala Rankine utilizada en un momento en ingeniería, también es una escala que comienza en 0° absoluto. Ni la escala Celsius, ni la Fahrenheit son absolutas. Por ejemplo el 0° absoluto en Celsius, equivaldría a -273,15°. La energía E, suele manifestarse de diferentes formas: como ya vimos de movimiento (cinética), de calor (radiante), de radiación electromagnética (otro tipo de energía radiante), y todas las que se transmiten por fotones son llamadas energías radiantes (manifestándose en el infrarrojo, en la luz visible, en ultravioleta, etc.), de electricidad (energía eléctrica), de posición (energía potencial), etc. La constante de Boltzmann k o kB apareció para medir la temperatura de un sistema en unidades de energía. Es el factor de conversión para pasar la temperatura a unidades de energía. Por lo que se sabe, si bien Boltzmann estableció la relación, nunca la expreso en una constante específica. Fue el propio Max Planck, quien introdujo por primera vez el valor k, con un valor bastante aproximado al utilizado actualmente. El ajuste del valor, se ha logrado mediante la aplicación de la espectroscopía de absorción láser.   

(Se usó la fórmula de Stirlings    1N!~N1N-N para N grande)

                                                       

Se aplicó a continuación la fórmula de Stirling, que es una fórmula matemática de aproximación para factores grandes. O sea, que nos aproxima al factorial (representado con el signo "!"). Lo que se debe hacer en la fórmula factorial es multiplicar todos los números enteros y positivos, entre el número de la fórmula y el 1 (que se toma de forma convencional como el cero factorial)(se puede escribir como una productoria (representada por una letra "pi" mayúscula "Π"), que iría desde "i" hasta "N"). El factorial, sería entonces el producto (o sea, el resultado) de los números iguales y menores de un número natural. Ejemplo 4!= 4x3x2x1=24. Su utilidad se encuentra en los cálculos de permutaciones y combinaciones, utilizándose también para calcular probabilidades. Existen tablas con los resultados de los cálculos que facilitan su uso. La letra "e breve", la "épsilon" ε del alfabeto griego se refiere a la relación de Euler (2.71828...). Luego tenemos "delta" Δ δ que significa incremento en la variable (cambio en la variable).
La Δ mayúscula es utilizada para los cambios grandes o macroscópicos y δ es usada para los cambios pequeños, infinitesimales.]                             

Donde h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz ρ "ro"(v,T) es la unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido

La unidad de ángulo sólido, también es utilizada en luminotecnia. Mientras que un ángulo plano se mide en radianes, el ángulo sólido se mide en estereorradianes, que se representa con la letra Ω omega.

Planck dedujo teóricamente la intensidad de la radiación en función de la longitud de onda y de la temperatura, enunciándola como que un oscilador de frecuencia natural puede recibir o entregar energía únicamente en proporciones de magnitud ε=hv, donde v es la frecuencia de la radiación. Max Planck encontró aquí una expresión teórica para la función de distribución espectral de densidad de energía en función de la longitud de onda (λ,Τ)( fórmula en el recuadro celeste: ⇧ Ley de Planck), o ρ(v.T) de la frecuencia del cuerpo negro. La densidad de energía representa la cantidad de energía acumulada en una materia dada o en una región del espacio, por unidad de volumen en un punto.

Una aclaración importante es que en muchas páginas web y hasta en algún libro de física, se comete el error de señalar a Max Planck, como quien resuelve la catástrofe del ultravioleta. Si bien Raleigh, en 1900, ya esta estudiando como llegar a estimar la cantidad de radiación que emitiría un cuerpo negro, no es hasta 1905, que con la colaboración de Jeans, proponen la ley que lleva sus nombres.

Max Planck, era muy conservador, y un defensor de la física clásica, le llevo unos treinta años poder aceptar la física cuántica. Fue Einstein el que le dio el espaldarazo final. El descubrimiento de Planck llevo a Einstein a explicar la "expulsión" de corpúsculos luminosos del átomo, llamados fotones, debido a un exceso de energía en este. Einstein explicó que la energía que genera tiene una intensidad que es proporcional a la cantidad de fotones.

Ecuación de Planck  E= h v, donde E es la energía de un fotón en Julios (j).

h es la constante de Planck = 6.626 x 10-34 Js

v es la frecuencia de luz, medida en hercios o Hertz (Hz). Los hercios son las unidades de frecuencia para medir ondas y vibraciones electromagnéticas. Estos representan un ciclo por cada segundo. El ciclo es la vibración mientras la onda se traslada desde un punto inicial "0" a otro punto "0". La onda esta constituida por los ciclos, que se repiten y se van alternando en positivos y negativos. En 1960, el Hertz suplantó al ciclo (cps) ciclo por segundo, usado anteriormente. Su nombre es en honor a Heinrich Rudolf Hertz que es quien descubrió la propagación de las ondas electromagnéticas.

Esta fórmula muchas veces suele aparecer sustituyéndose con la "ƒ" la "v" como vemos en el artículo de Einstein transcripto más abajo.

En 1901, Einstein había accedido a los trabajos de Planck, estando relacionados por sus ocupaciones. Albert Einstein era profesor de física, cuando Planck era el decano de la Universidad de Berlín. Es en 1905 que Einstein propone la explicación del efecto fotoeléctrico. Asumió que la energía de luz se hallaba concentrada en paquetes y que estos contenían una energía radiante que equivalía a la constante de Planck. Como el cuanto de energía luminosa era un nombre muy extenso, más tarde se le daría el nombre de fotón.

Este es el artículo original de 1905 de Einstein:

 […]De acuerdo con la idea de que la luz incidente se compone de cuantos con energía hf, la expulsión de los rayos catódicos [fotoelectrones] por luz se puede entender de la siguiente manera. Los cuantos de energía penetran en la capa superficial del cuerpo y su energía se convierte, al menos en parte, en energía cinética de electrones. La imagen más simple es que un cuanto de luz cede toda su energía a un solo electrón; Asumiremos que esto sucede[…]. Un electrón provisto de energía cinética dentro del cuerpo puede haber perdido parte de su energía cinética en el momento en que llega a la superficie. Además, se debe suponer que cada electrón, al abandonar el cuerpo, tiene que realizar una cantidad de trabajo W (que es característica del cuerpo). Los electrones expulsados directamente desde la superficie y en ángulos rectos tendrán las mayores velocidades perpendiculares a la superficie. La energía cinética máxima de uno de estos electrones es

Ecmax = hf – W

Si la placa C se carga a un potencial positivo, Vp , lo suficientemente grande para evitar que el cuerpo pierda carga eléctrica, debemos tener que

Ecmax = hf – W = eVp ,

donde e es la magnitud de la carga electrónica[…]

Si la fórmula derivada es correcta, entonces Vp , cuando se representa gráficamente en función de la frecuencia de la luz incidente, debe producir una línea recta cuya pendiente debe ser independiente de la naturaleza de la sustancia iluminada. […]

¹)- Le demuestran por el principio de incertidumbre o principio de indeterminación de Heisenberg. Esta es una inecuación que establece que es imposible medir posición y velocidad a un mismo tiempo a nivel cuántico, debido a la doble naturaleza corpuscular y ondulatoria de las partículas. Además el propio hecho de medir provoca un error, porque para medir la velocidad y la posición de un electrón, debería lanzársele un fotón, que al interaccionar con él, le provocará un cambio de posición.

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